Uma aplicação rendeu 10% no primeiro ano e 20% no segundo ano, e os rendimentos foram reinvestidos. A taxa…

Juros compostos são o regime em que os juros de cada período são incorporados ao capital e passam a render juros nos períodos seguintes: é o famoso juros sobre juros. É o regime predominante no mercado financeiro, em financiamentos e aplicações. Como a base de cálculo cresce a cada período, o montante cresce de forma exponencial, e não linear como nos juros simples.

A fórmula central é M = C · (1 + i)^t, em que M é o montante, C o capital (valor presente), i a taxa em decimal e t o número de períodos; os juros são J = M − C. Taxa e prazo precisam estar na mesma unidade de tempo: taxa mensal, prazo em meses. O termo (1 + i)^t é o fator de capitalização: com taxa de 10%, i = 0,10 e o fator de cada período é 1 + 0,10 = 1,10.

A prova usa a fórmula nos três sentidos. Para achar o capital, divide-se: C = M / (1 + i)^t, o que se chama trazer a valor presente. Para achar a taxa, isola-se o fator, (1 + i)^t = M / C, e reconhece-se a potência. Vale decorar 1,1² = 1,21, 1,1³ = 1,331, 1,1⁴ = 1,4641 e 1,2² = 1,44.

Nos juros compostos, taxas não se somam nem se dividem: multiplicam-se os fatores. Taxas equivalentes seguem (1 + i do período maior) = (1 + i do menor)^n, em que n é quantos períodos menores cabem no maior; assim, 10% ao mês dão fator bimestral 1,1² = 1,21, ou seja, 21% ao bimestre, e os 20% são só a taxa proporcional, que vale nos juros simples. Taxas sucessivas com reinvestimento também se acumulam multiplicando: 10% e depois 20% dão 1,10 × 1,20 = 1,32, isto é, 32%.

Com o mesmo capital e a mesma taxa, o montante composto é maior que o simples para prazo maior que um período, porque (1 + i)^t supera 1 + i·t. Em exatamente um período os dois regimes empatam, e em fração de período o simples rende mais.

Exemplo: R$ 1.000,00 a 10% ao ano por 2 anos dá 1.000 × 1,21 = R$ 1.210,00 (nos juros simples, seriam R$ 1.200,00). Para ter R$ 2.420,00 em 2 anos à mesma taxa, aplica-se 2.420 / 1,21 = R$ 2.000,00. E se R$ 8.000,00 viram R$ 10.648,00 em 3 meses, o fator é 1,331 = 1,1³, logo a taxa é 10% ao mês.

As alternativas erradas costumam trazer o resultado dos juros simples (R$ 1.200,00 no montante, R$ 2.016,67 ao dividir por 1,20 em vez de 1,21 e a taxa de cerca de 11% obtida ao repartir o rendimento pelos meses), a soma ou a média das taxas (30% ou 15% em vez de 32%), a proporcional no lugar da equivalente (20% em vez de 21%) e a taxa acumulada como se fosse a mensal (33,1% em vez de 10%). Nos juros compostos, desconfie de toda conta que some ou divida taxas.

Para memorizar: nos juros compostos tudo passa pelo fator (1 + i). Multiplica-se para capitalizar, divide-se para trazer a valor presente, e taxas se combinam multiplicando fatores, nunca somando.